非球麵的應用能夠顯著提升光學係統的光學性簡化光學係統結構,非球麵的鏡麵拋光機也越來越受者的重視.但由於非球麵自身的對稱性與球麵別,使其不能夠適用傳統的球麵加工原理進行.現對於回轉對稱的二次曲麵加工法一般使用母線銑磨加工法或者用線接觸加工方法.本文根據某文獻建立的基於橢圓路徑的銑磨過差模型,結合誤差測量和評估技術,加工後通過型將誤差項辨識出來,然後在下次加工中予以以提高加工精度.同時,鑒於誤差傳遞函數的性,本文分析了合並,分開辨識相似誤差所引入差,以此得到處理相似誤差的策略,提高算法的
1誤差辨識策略
若實際麵形誤差測量和評估過程中與誤差模型建立所采用的誤差準則是一致的,則在一定的精度範圍內,由誤差模型在某組誤差向量下仿真出的麵形誤差εs與最終工件麵形測量評估後所得麵形誤差εc之間存在等價關係:εc=εs+υ(1)
其中υ為兩者之間的差異,認為是噪聲.通常,由於各誤差因素與最終麵形之間存在複雜的非線性關係,式(1)為以非線性方程,利用式(1)通過某種辨識算法可以將各誤差項辨識出來.這裏進行誤差辨識,相當於把鏡麵拋光機加工過程和機床看成一個多輸入單輸出的誤差形成係統,其輸入是各誤差因素,輸出是加工工件的麵形誤差.引入誤差辨識,反饋再加工後非球麵銑磨加工流程[3]如下:
圖1誤差辨識,補償流程圖
2誤差辨識線性模型
基於橢圓路徑的二次曲麵銑磨誤差模型[5]給出了各項誤差因素與最終麵形誤差之間的線性關係,從而將式(1)簡化為一線性方程,可以利用現有的線性係統辨識算法辨識出各誤差因素.同時,好色先生TV网站應該注意到,某些誤差因素對最終麵形誤差的傳遞函數之間存在相似性[8],這會對誤差辨識的精度產生影響,本文也對此進行相關分析,並提出解決方法.
2.1線性模型辨識算法
利用最小二乘準則建立的基於橢圓路徑銑磨誤差模型給出了各誤差項對實際麵形影響的一階線性近似為:εs=ζTδ(2) 其中:
δ=[δtδyrδfδα_tδα_yrδα_f gp]T為誤差向量,這裏好色先生TV网站稱ζ為誤差傳遞函數矩陣,其各項稱為對應誤差的傳遞函數,其中r為回轉半徑.測量評估出加工工件的麵形誤差εc(r)後可用最小二乘準則對上式中的誤差矢量進行辨識,最小二乘法辨識要求極小化下列準則函數:
其中積分路徑s是曲麵測量評估的弧段.要使式(4)取極小值,根據微積分相關理論必有下式成立:
從而:
實際上麵形的測量數據都是離散的,故要將式(6)誤差辨識結果進行離散化,結果如式(7):
δ=(ETE)-1ETε (7)
其中:
ε=[ε(r1)ε(r2)Lε(rn)]T
E=[ζ(r1)ζ(r2)Lζ(rn)]T (8)
2.2相似項處理方法
若式(6)中誤差傳遞函數向量有兩個函數近似成比例的時候,A就可能為病態矩陣,其條件數將很大,從而逆矩陣就可能不存在或求解的精度很低,影響辨識精度.下麵對這一情形進行具體研究.用函數相關係數來衡量由合並估計相關性很大的誤差項而引入的辨識係統誤差,不合並估計相關性很大的誤差項由計算和測量噪聲引入的辨識隨機誤差.以下的分析中設ζ(x)=[f1(v)f2(x)]T,函數fi(x)(i=1,2)為定義在[a b]上的兩平方可積函數,兩函數之間的相關係數用γ表示,兩項誤差的幅值為δ=[δ1δ2]T.①合並相似項估計可能引入的誤差當誤差傳遞函數之間的相似性很大的時候,采取的策略是僅辨識誤差傳遞函數之間的相關係數較接近於零的幾項誤差,而對於誤差傳遞函數之間的相關係數接近於1或接近於-1的誤差僅辨識其中一項,也就是將由這幾個誤差引起的誤差之和看作是由其中一項誤差引起的誤差,這樣就能夠避免出項病態的情形.但由於傳遞函數不可能完全一致,合並估計必然帶來誤差,這裏以兩個相似函數為例來研究合並估計引入的誤差.根據泛函分析相關理論[9],以f1(x)最佳平方接近f2(x),然後僅以f1(x)來辨識,由此引入的誤差為:
式(9)表明,合並相似項引入的誤差與誤差項的幅值成正比,且隨兩者之間的相似性的提高而減小.②不合並相似項估計可能引入的誤差若兩函數近似成線性時仍然將他們分開估計,這可能會引入病態矩陣,從而會引入三個方麵的誤差:病態矩陣求逆誤差;誤差函數的不準確會引入辨識結果偏差;由於條件數比較大,噪聲信號對誤差辨識的結果影響就會增大.可以用高精度的算法求解式(6)來減小第一種誤差.另外二種誤差屬於係統誤差,不可能用高精度算法來減小,下麵分析後兩種誤差與函數相關係數之間的關係.由矩陣理論[10]可估計出:
數值計算相關結論表明,用式(6)進行辨識時由於病態矩陣的存在,係數矩陣存在的誤差所導致辨識結果的相對誤差上限[9]為:
將式(10)代入式(11),可得:
式(12)表明,當‖A-1‖‖δA‖<<1時,矩陣A的相對誤差可能會被放大(1-γ2)-1倍後引入辨識結果中去.同時εc由中所含的誤差υ引入的辨識結果的相對誤差上限[9]為:
將式(10)代入式(13),可得:
式(12)表明,麵形誤差測量的相對誤差可能會被放大(1-γ2)-1倍後引入辨識結果中去.式(12)和式(14)表明,分開相似項引入的誤差隨兩者之間的相似性的提高而增大.③處理方法在實際辨識中出現此種情形,先根據式(9),式(12)和式(14)估計出辨識誤差,然後判斷是合並估計還是分開估計.一般來講當相關係數不是太大時,在初始的幾步加工中,由於麵形測量信號的信噪比比較大,可以分開辨識,但由於噪聲總是存在的,估計誤差總是存在的,故不將辨識出的誤差全部補償.當加工出的工件麵形已經比較好時,信噪比降低,這時進行合並估計,同樣也不將辨識出的誤差全部補償.這樣做與實際情況也較為符合,剛開始加工時各項誤差都比較大,如對刀誤差,刀具半徑誤差等,故分開辨識以盡可能地補償各項誤差,但加工的最後幾步,各項誤差都已比較小,此時分開辨識比較適宜.
3實驗研究
由於點接觸加工方式與一般的用機床走母線的加工方式很接近,故而這裏在普通機床做誤差辨識和補償試驗.試驗加工的對象方程為:加工的工件為:t2+yr2-790f=0,口徑為212mm.加工角度為-60°.實驗采用實驗室自研的光學非球麵複合加工機床[7]機床具有X,Y,Z,A,C五軸數控聯動功能,在全行程內,鏡麵拋光機的綜合精度達到3μm.各誤差項的傳遞函數如圖2所示.沿回轉軸平動誤差和繞回轉軸的轉動誤差的誤差傳遞函數fδf(r)和fδα_f(r)為零,表明了此兩項誤差對最終麵形的影響是誤差的二階小量以上,此處忽略不計.
(a)δt的誤差傳遞函數 (b)δyr的誤差傳遞函數
各誤差的傳遞函數明顯分成兩類:沿t軸線性誤差對工件誤差的傳遞函數ft(r),繞yr軸誤差對工件誤差的傳遞函數fα_δyr(r)和刀具半徑誤差對工件誤差的傳遞函數fgp(r)近拋物線,沿yr軸線性誤差對工件誤差的傳遞函數fδyr(r)和繞t軸誤差對工件誤差的傳遞函數fδα_t(r)近線性.各類函數內的相關函數為:
由於兩類函數內的相關係數都為1,從而隻能以兩類函數中的一個函數來辨識,根據式(59)這樣做不會引入誤差.從而在實驗中可以僅選取兩類函數中的一個進行辨識,這裏根據實際情況選取δyr和gp進行辨識.兩類函數之間的相關係數為γ(δy,gp)=0.9684,幾乎接近於1.這裏采用第三節中的策略.在初始麵形誤差比較大時分開估計,補償gp和δyr,當麵形精度較高時采用合並估計的方法,選取δyr作為估計補償對象.同時,在補償的時候不是將辨識出的誤差值全部補償掉,而是僅僅補償30%～50%.圖3是各次加工補償後的麵形誤差圖.圖的橫坐標是工件的回轉半徑,單位為mm,圖的縱坐標是麵形誤差,單位為mm.如圖3,第1次加工所得麵形的RMS值為13.1μm,采用雙項辨識,辨識出δy=-0.1716mm,δgp=-0.0109mm,補償辨識所得誤差的50%後再進行加工後結果如圖3(b).第2次加工所得麵形的RMS值為8.8μm,采用雙項辨識,辨識出δy=-0.178mm,δgp=0.7688mm,辨識結果與第一次相差不大,可能是由辨識誤差造成的,補償辨識所得誤差的50%後再進行加工後結果如圖3(c).第3次加工所得麵形的RMS值為4.1μm,采用單項辨識,辨識出δy=-0.0205mm,補償辨識所得誤差的30%後再進行加工後結果如圖3(d).第4次加工所得麵形的RMS值為2.0μm,麵形的PV值為8μm.
通過三次補償加工麵形的RMS從13.1μm降為2.0μm,鏡麵拋光機效果較明顯,再補償由於機床的精度限製,效果就不會很明顯了.
綜上所述:利用基於橢圓路徑的誤差模型和最小二乘準則,建立回轉二次曲麵加工的誤差辨識,反饋加工流程.具體分析了誤差傳遞函數存在相似項時分開,合並辨識的所引入的辨識誤差,並基於此分析提出了處理相似項誤差的策略.實驗證明,此辨識-反饋法和相似項處理策略能夠大大提高加工精度.
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